XV e Rallye Math�matiques d�Aquitaine

Mardi 21 mars 2006-03-28

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Traitez les sujets qui vous concernent et compl�tez le dossier r�ponse ci-joint.

(Attention�! Certaines r�ponses aux probl�mes n�cessitent une r�daction.)

Les niveaux de difficult� sont indiqu�s par les symboles �, ��, ���.

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Sujets communs

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1)Pile poil � �
Une coiffeuse pr�pare ses dix bigoudis de 4 cm de diam�tre en les empilant sur une table comme sur le dessin ci-contre.

Quelle est la hauteur de la pile de bigoudis ?

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2) Sortez couvert�! �
Le pharmacien de mon quartier vend des pr�servatifs uniquement en bo�tes de 6, de 9 ou de 20.

Par exemple, il m�est possible de lui acheter exactement 17 pr�servatifs.

Quelles sont les autres quantit�s que je ne peux pas lui acheter ?

3) Le spirographe �

Lucie met la mine de son crayon dans le trou A du petit engrenage qui comporte 18 dents et commence � le faire tourner dans le grand cercle, fix� sur son bureau, qui comporte 56 dents.
Combien de fois le grand cercle aura-t-il �t� parcouru lorsque le point A reprendra, pour la premi�re fois sa position initiale ?

�4) Pseudo rectangle �
Voil� quelques d�cennies, on pouvait lire dans un manuel de math�matiques la d�finition suivante :
� On dit qu�un triangle GAE dans lequel �>� est pseudo-rectangle en G si l�on a � - � = 90�.
Avec une r�gle (non gradu�e) et un compas, construire un triangle pseudo rectangle et isoc�le.


5) Su Doku (chiffres solitaires) ��
Dans ce jeu au nom japonais mais qui a sans doute �tait �labor� par Euler, math�maticien suisse du XVIIIe si�cle, il faut inscrire tous les chiffres de i � 9 dans chaque ligne, dans chaque colonne et dans chaque carr� de neuf cases. Certains chiffrer ont d�j� �t� plac� et un a �t� effac� et remplac� par une �toile.
Remplir cette grille sachant qu�elle est unique.
*Le chiffre de cette case correspond � la solution de l��quation propos�e par le mammif�re marsupial sur ce document.


6) Le roi des uns
Derri�re chacun des signes suivants ▲, ◘, ◙, ☺, et ♣, se cache l�un des cinq d�partements dans lequel se d�roule aujourd�hui le XVe Rallye math�matique d�Aquitaine.
Retrouver le symbole de chaque d�partement gr�ce aux trois renseignements suivants�:
☺+♣=◘ ◙+▲= 2 X ♣ ▲-◙=☺-♣/4


7) Le roi des uns ��
Selon Attila, le nombre 1 415 843 est magique. Il affirme qu�en multipliant ce nombre par un nombre entier, le r�sultat ne s��crit qu�avec des 1.
Retrouver la multiplication d�Attila.


8) Un fil d�or ��
Le P.D.G. d�une entreprise fait appel � un brodeur pour apposer un logo triangulaire sur des maillots publicitaires (voir dessin du logo ci-contre). Il souhaite faire broder au fil d�or le segment [FD].
Pour limiter le co�t de son projet, il veut que ce segment soit le plus court possible.
A vous d�aider le brodeur � tracer convenablement [FD] sachant que BDEF est un rectangle inscrit dans le triangle ABC.


9) La castagne���
Un agriculteur p�rigourdin a r�colt� 3 000 ch�taignes�; il d�cide de les vendre au march� situ� � 1 000 dam de son exploitation. Pour le transport, il ne poss�de que son vieil �ne qui ne peut en porter que 1 000 � la fois. Son vieil �ne adore les ch�taignes et, pour avancer, doit en manger une par d�cam�tre.
Le pauvre p�rigourdin aura-t-il de ch�taignes � vendre au march�?
Et, si oui, combien au maximum�?


10) D�chiffre �
Voici des produits de deux nombres de 4 chiffres o� chaque chiffre est utilis� une seule fois�:
12345 x 67890
98765 x 43210
Quels sont les deux nombres de 5 chiffre, chaque chiffre �tant utilis� une seule fois, dont le produit et le plus grand�?


11) Partage de rhombo�de ��
Se sentant vieillir, Hercule d�cide de l�guer � ses filles, Th�r�se et Justine, un terrain ayant la forme d�un parall�logramme. Comme il est fac�tieux, il prend le plan cadastral, met un point au hasard sur le terrain, trace des traits et dit�:
��L� je vais creuser un puits. Th�r�se aura les parcelles hachur�es et Justine les autres.��
Devant leur air �tonn� il ajoute�: ��Je pense que c�est un partage �quitable.��
Qu�en pensez-vous�?


12) Sur les roses ��
Julien le jardinier poss�de un certain nombre de rosiers et souhaite les disposer ��en carr頻 en les utilisant tous.
Il fait un premi�re tentative�:
Il met un certain nombre de rosiers en carr�; il lui en reste alors 52.
Il fait une deuxi�me tentative�:
Il met 4 rosiers de plus par c�t�; il lui en manque alors 60.
Combien Julien poss�de-t-il donc de rosiers�? Peut-il disposer tous ces rosiers en carr�?


13) Un bon mill�sime��
Amandine, qui voudrait avouer � son Papa sa mauvaise note en maths, lui dit�:
��Papa, j�hallucine�! Si e fais le produit de nos deux �ges et de ma note de maths, je trouve l�ann�e du XV e Rallye math�matique d�Aquitaine�!��
Qu�elle est la note d�Amandine�?


14) Mollo Mollo dans la case��
Dans une grille, on dit que deux cases sont voisines si elles ont un c�t� ou un somment en commun.
Dans une grille de 6 x 6 cases, noircir des cases pour que chaque cases poss�de un nombre impair de cases voisines noircies.

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Date de cr�ation : 28/03/2006 · 14:38
Derni�re modification : 04/04/2006 · 15:31
Cat�gorie : Math�matiques
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